Cách Tính Ma Trận Mũ

THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ LŨY THỪA BẬC HAI, CĂN BẬC BA VÀ LŨY THỪA BẬC BA
THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ LŨY THỪA BẬC HAI, CĂN BẬC BA VÀ LŨY THỪA BẬC BA 521 10
Lũy thừa bậc n của một ma trận vuông Đỗ Viết Lân Ngày 26 tháng 3 năm 2014 Đỗ Viết Lân Lớp: Toán 3A - Trường Đại học Sư Phạm Huế 1 Ví dụ 1: Cho ma trận sau: A =   −6 1 2 10 1 −2 −20 0 5   .

Bạn đang xem: Cách tính ma trận mũ

Hãy tính A n . Giải: Để tìm đa thức đặc trưng của ma trận A ta dùng lệnh A.charpoly(’t’) Đa thức đặc trưng của A là: P A (t) = t 3 − t Do đó ta có A 3 = A. Khi đó ta có công thức tính A n như sau: Nếu n = 2k thì: A n = A 2 =   6 −5 −4 −10 11 8 20 −20 −15   Nếu n = 2k + 1 thì: A n = A =   −6 1 2 10 1 −2 −20 0 5   Ví dụ 2: Cho ma trận sau: A =   −1 4 −2 −3 4 0 −3 1 3   . Hãy tính A n . Giải: Ở đây ta cũng tìm đa thức đặc trưng của A là: P A (t) = t 3 − 6t 2 + 11t − 6 Tuy nhiên đa thức nãy không đặc biệt như trong ví dụ 1. Trong ví dụ này ta phải tính ma trận J là dạng chuẩn Jordan của A và tìm ma trận khả nghịch P sao cho J = P AP −1 Để tìm J và P ta dùng lệnh sau: J, P = A.eigenmatrix_left() Như vậy ta có dạng chuẩn Jordan của A là: J =   3 0 0 0 2 0 0 0 1   và ma trận khả nghịch P là: 2 P =   0 1 −1 1 −3 2 1 − 5 3 1   Lúc này ta có A = P −1 J P . Suy ra A n = P −1 J n P Ta tính được A n là: A n =   −2 2 n + 3 −3 n + 6 2 n − 5 3 n − 4 2 n + 3 −3 2 n + 3 −3 3 n + 9 2 n − 5 3 3 n − 6 2 n + 3 −3 2 n + 3 −4 3 n + 9 2 n − 5 4 3 n − 6 2 n + 3   Ví dụ 3: Cho ma trận sau: A =     1 4 1 3 4 1 3 1 1 3 1 4 3 1 4 1     . Hãy tính A n .

Xem thêm: Ý Nghĩa Thật Về " Cô Chiêu Là Gì ? Về Thành Ngữ Cậu Ấm Cô Chiêu

Giải: Dạng chuẩn Jordan của A là: J =     9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −5     và ma trận khả nghịch P là: P =     1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1     Ta có A n = P −1 J n P Ta tính được A n là:     1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4     Ví dụ 4: Cho ma trận sau: A =   1 1 1 0 1 1 0 0 1   . Hãy tính A n . Giải: 3 Ta có A = I + J. Trong đó I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   ; J =   0 1 1 0 0 1 0 0 0   Lúc này A n = (I + J) n = I n + C 1 n I n−1 J + C 2 n I n−2 J 2 = I + C 1 n J + C 2 n J 2 . Vì ta có J 3 =   0 0 0 0 0 0 0 0 0   Do do ta co A n =   1 n 1 2 (n + 1)n 0 1 n 0 0 1   4 . − 5 3 1   Lúc n y ta có A = P −1 J P . Suy ra A n = P −1 J n P Ta tính được A n là: A n =   −2 2 n + 3 −3 n + 6 2 n − 5 3 n − 4 2 n + 3 −3 2 n + 3 −3 3 n + 9 2 n − 5 3 3 n − 6 2 n + 3 −3 2 n + 3 −4 3 n +. ta cũng tìm đa thức đặc trưng của A là: P A (t) = t 3 − 6t 2 + 11t − 6 Tuy nhi n đa thức n y không đặc biệt như trong ví dụ 1. Trong ví dụ n y ta phải tính ma tr n J là dạng chu n Jordan của. A n là:     1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4     Ví